7. Sınıf İşçi Problemleri

🧭 7. Sınıf İşçi Problemleri: Bu Sayfada Neler Var?

İşçi problemleri, günlük hayatın matematiğidir: bir işi iki kişi birlikte yaparsa ne kadar sürer? Aynı anda açılan iki musluk havuzu ne zaman doldurur? Bu sayfada birim zamandaki iş kavramını, birlikte çalışma formülünü ve ters orantı mantığını öğreneceksin. İnteraktif işçi simülasyonuyla çalışma hızlarını değiştirip süreleri canlı görebilir, çalışma kağıdı ve mini test ile pekiştirebilirsin.

🎯 7. Sınıf İşçi Problemleri Kazanımları

Bu bölümde işçi problemleri konusu için hedeflenen öğrenme çıktıları yer alır. Kazanım kodları ve ifadeleri 7. sınıf matematik müfredatına göre düzenlenmiştir.

📐 7. Sınıf İşçi Problemleri Konu Anlatımı

1. Giriş: Aynı İş, Farklı Süreler

Bir duvarı usta 6 saatte, çırak ise 12 saatte boyuyor. İkisi birlikte çalışırsa ne kadar sürer?

Çoğu öğrenci "6 + 12 = 18 saat" der. Ama bu yanlıştır! Neden mi? Çünkü ikisi birlikte çalışınca daha hızlı bitirirler. Birlikte çalışmanın süresi, tek başına en hızlı işçiden bile daha kısa olmalıdır.

2. Altın Kural: Birim Zamandaki İş

İşçi problemlerinin anahtarı şu kavramdır: birim zamandaki iş.

• Bir işi 6 saatte yapan usta, 1 saatte işin 1/6'sını yapar.
• Bir işi 12 saatte yapan çırak, 1 saatte işin 1/12'sini yapar.

Birlikte çalıştıklarında, 1 saatte yaptıkları iş 1/6 + 1/12 olur. Bu toplamın 1'e (yani tam işe) ulaşması için geçen süre, işin bittiği süredir.

3. Formül: Birlikte Çalışma

İki işçi bir işi birlikte t saatte bitiriyorsa:

Burada a birinci işçinin tek başına süresi, b ikinci işçinin tek başına süresidir. Üç işçi varsa: 1/a + 1/b + 1/c = 1/t şeklinde genişler.

4. Çözümlü Örnekler (Kolaydan Zora)

Örnek 1 — Çok Kolay

Soru: Bir işi Ali 4 saatte, Veli 6 saatte yapıyor. İkisi birlikte çalışırsa iş kaç saatte biter?

Çözüm: Formülü uygulayalım.

• 1/4 + 1/6 = 1/t
• Ortak payda 12: 3/12 + 2/12 = 5/12
• 5/12 = 1/t → t = 12/5 = 2,4 saat (yani 2 saat 24 dakika)

Kontrol: 2,4 saat, en hızlı işçi olan Ali'nin 4 saatinden küçük. Mantıklı!

Örnek 2 — Kolay

Soru: Bir havuzu birinci musluk 10 saatte, ikinci musluk 15 saatte dolduruyor. İkisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:

• 1/10 + 1/15 = 1/t
• Ortak payda 30: 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
• 1/6 = 1/t → t = 6 saat

Örnek 3 — Orta

Soru: Bir işi A işçisi 8 günde, B işçisi 12 günde bitiriyor. A 2 gün tek başına çalıştıktan sonra B de katılıyor. İş toplam kaç günde biter?

Çözüm: Önce A'nın 2 günde yaptığı işi bulalım.

• A'nın 2 günde yaptığı: 2 × 1/8 = 2/8 = 1/4
• Kalan iş: 1 − 1/4 = 3/4
• Birlikte hızları: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24
• Kalan 3/4 işi birlikte bitirme süresi: (3/4) ÷ (5/24) = (3/4) × (24/5) = 18/5 = 3,6 gün
• Toplam süre: 2 + 3,6 = 5,6 gün

Örnek 4 — Yeni Durum / Günlük Yaşam

Soru: Bir tarlayı traktör 6 saatte, orak makinesi 3 saatte sürüyor. İkisi birlikte çalışırsa tarla kaç saatte sürülür?

Çözüm:

• 1/6 + 1/3 = 1/t
• Ortak payda 6: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2
• 1/2 = 1/t → t = 2 saat

Dikkat: 2 saat, en hızlı makine olan orak makinesinin 3 saatinden de küçük. Doğru!

Yaygın Hatalar

• ❌ Süreleri doğrudan toplamak: 4 + 6 = 10 saat.
  ✅ Doğrusu: Birim zamandaki işler toplanır: 1/4 + 1/6 = 1/t → t = 2,4 saat.
  💡 Neden? Birlikte çalışan işçiler aynı anda çalışır, hızları birleşir. Süreler değil, hızlar toplanır.
• ❌ Sonucun tek başına en hızlı işçiden büyük çıkmasını fark etmemek.
  ✅ Doğrusu: Birlikte çalışmanın süresi, en hızlı işçinin süresinden daima KÜÇÜK olmalıdır.
  💡 Neden? İki kişi tek kişiden daha hızlı çalışır.
• ❌ Havuz problemlerinde bir musluğun boşalttığını unutmak.
  ✅ Doğrusu: Boşaltan musluk varsa, onun hızı çıkarılır: 1/a + 1/b − 1/c = 1/t.
  💡 Neden? Boşaltma, doldurmaya ters çalışır.

🧠 Konu Özeti

İşçi problemlerinde birim zamandaki iş toplanır: 1/a + 1/b = 1/t. Birlikte çalışmanın süresi, en hızlı işçinin süresinden daima küçüktür. Havuz problemlerinde boşaltan musluk varsa hızı çıkarılır. Süreler değil, hızlar toplanır!

✨ İnteraktif Etkinlik: İşçi Simülasyonu

Aşağıdaki etkinlikte iki işçinin çalışma sürelerini slider'larla değiştirerek, birlikte çalıştıklarında işin ne kadar sürede biteceğini canlı olarak görebilirsin. İki çubuğun nasıl dolduğunu ve işin ne zaman tamamlandığını izle.

⏲️ 7. Sınıf İşçi Problemleri — 40 Dakika Ders Planı

Bu ders planı, işçi problemlerini birim zamandaki iş kavramıyla keşfetmeye dayalı olarak kurgulanmıştır.

🧑‍🏫 Öğretmen Notları

Bu sayfa, işçi problemleri konusunu öğrenci merkezli ve uygulamalı olarak işlemek için hazırlanmıştır. Aşağıdaki değerlendirme notları, öğrenme sürecini takip etmenize yardımcı olur.

📄 Yazdırılabilir Çalışma Kağıdı (2 Sayfa)

Aşağıdaki çalışma kağıdı 2 tam sayfa olarak hazırlanmıştır. Öğretmenler arkalı önlü tek bir kağıt olarak yazdırabilir. Toplam 10 kısa soru + 1 açık uçlu soru ve öğrenci çalışma alanları içerir.

📝 İşçi Problemleri Mini Test

5 soruluk hızlı değerlendirme. Her soruda bir seçeneği işaretleyin.

🎭 Oyun / Drama Etkinliği: Ustalar ve Çıraklar

Sınıfı 4-5 kişilik gruplara ayırın. Her gruba bir işçi senaryosu verin (örneğin: "Bir işi usta 8 günde, çırak 24 günde yapıyor. Birlikte kaç günde bitirirler?"). Gruplar, işi kağıt üzerinde çizip parçalara bölerek, ustaların ve çırakların günlük iş miktarlarını göstererek sonucu sınıfa sunar. En açık ve doğru sunum yapan grup "baş usta" ilan edilir.

🏆 Performans Rubriği

❓ İşçi Problemleri Hakkında Sıkça Sorulan Sorular

🔎 İlgili İçerikler